Нападающий родился в Москве в 2004 году. Занимался в школе московского «Динамо», затем отправился в «Северную звезду», в составе которой играл на различных юношеских турнирах. В МХЛ играл за «Капитан» на протяжении двух сезонов (79 матчей, 37 очков), в мае 2023 года выступал в составе молодёжной сборной России на «Кубке Будущего». Затем летом прошёл предсезонную подготовку вместе с Сочи». Незадолго до старта чемпионата КХЛ получил травму, которая на несколько недель оставила молодого форварда вне игры. По ходу сезона-2023/2024 перешёл в «Ладу» на правах аренды. После завершения арендного договора Алексей Васильков вернулся в «Сочи». Контракт действует до 31 мая 2026 года.