Данил Башкиров родился в Тюмени в 2001 году. Нападающий начинал профессиональную карьеру в «Мамонтах Югры» в сезоне 2017/2018. В Континентальной хоккейной Лиге Данил дебютировал в возрасте 18 лет за уфимский «Салават Юлаев», в матче против «Сибири» 17 декабря 2019 года, а уже через день принял участие в «Зеленом Дерби». Даниил – участник молодёжного чемпионата мира 2021 года. В межсезонье форвард был обменян из «Авангарда» в «Ладу», а затем пополнил состав «Сочи».