Данил Авершин является воспитанником московского «Динамо», в составе которого играл на различных юношеских турнирах. В 2014 году перешёл в школу московского «Спартака». С 2015 по 2016 годы выступал в составе клуба «Дмитров» в открытом чемпионате Москвы среди юношей и в первенстве России. Летом 2016 года вернулся в систему «Спартака». В феврале 2019 года дебютировал на профессиональном уровне в составе молодёжной команды красно-белых. Вызывался в состав юниорской сборной России для участия в международном «Турнире пяти наций» в Чехии. Данил Авершин - обладатель Кубка Глинки/Гретцки-2019 в составе юниорской сборной России до 18 лет. В системе сборных команд сыграл 22 матча, в которых набрал 5 (2+3) очков.
В сезоне-2020/21 Авершин несколько матчей провел в составе воскресенского «Химика» в чемпионате ВХЛ, а дебют в КХЛ состоялся в форме «Спартака» 7 декабря 2020 года в игре против «Йокерита» (3:2 ОТ).
27 октября 2021 года в результате обмена нападающий пополнил систему московского «Динамо», подписав контракт до конца сезона-2021/22. Не проведя за «Динамо» ни одного матча, спустя два дня Данил в результате обмена пополнил состав хоккейного клуба «Сочи».